作业帮用数学归纳法证明：1+1/根号2+1/根号3+.+1/根号
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 12:47:51
用数学归纳法证明：1+1/根号2+1/根号3+.+1/根号
用数学归纳法证明：1+1/根号2+1/根号3+.+1/根号
用数学归纳法证明：1+1/根号2+1/根号3+.+1/根号
当n=1时,左边=1
n=1时 1<2√1=2成立
若当n=k时，1+1/√2+...+1/√k<2√k成立
则当n=k+1时，1+1/√2+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)
因为2√(k+1)-2√k
=2(√(k+1)-√k)(√(k+1)+√k)/(√(k+1)+√k)
=2/(√(k+1)+√k)
>2/(2√(k+1))
=1...
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n=1时 1<2√1=2成立
若当n=k时，1+1/√2+...+1/√k<2√k成立
则当n=k+1时，1+1/√2+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+1/√(k+1)
因为2√(k+1)-2√k
=2(√(k+1)-√k)(√(k+1)+√k)/(√(k+1)+√k)
=2/(√(k+1)+√k)
>2/(2√(k+1))
=1/√(k+1)
所以2√(k+1)>2√k+1/√(k+1)>1+1/√2+...+1/√(k+1)，得证
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n=1时 左边=1 右边=2 成立
假设n=k时成立
即1+1/√2+1/√3+.....+1/√k<2√k
那么n=k+1时
左边=1+1/√2+1/√3+.....+1/√k+1/√(k+1)
<2√k +1/√(k+1)
=2√k + 2/ 2√(k+1)
<2√k +2/...
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n=1时 左边=1 右边=2 成立
假设n=k时成立
即1+1/√2+1/√3+.....+1/√k<2√k
那么n=k+1时
左边=1+1/√2+1/√3+.....+1/√k+1/√(k+1)
<2√k +1/√(k+1)
=2√k + 2/ 2√(k+1)
<2√k +2/[√(k+1) +√k]
=2√k +2√(k+1) -2√k
=2√(k+1)
即n=k+1时也成立
所以对一切 n∈N*，均有1+1/√2+1/√3+.....+1/√n<2√n
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1 n=1时,显然成立
2 假设n=k时成立 即
1+1/更号2+…+1/根号k<1/根号k
n=k+1时
左边=(1+1/根号2+…+1/根号k)+1/根号k+1<2根号k+1/根号k+1
2根号k+1- (2根号k+1/根号k+1)
=2(根号k+1-根号k)-1/根号k+ 1
=2( (根号k+1-根号k)*( 根号k+1...
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1 n=1时,显然成立
2 假设n=k时成立 即
1+1/更号2+…+1/根号k<1/根号k
n=k+1时
左边=(1+1/根号2+…+1/根号k)+1/根号k+1<2根号k+1/根号k+1
2根号k+1- (2根号k+1/根号k+1)
=2(根号k+1-根号k)-1/根号k+ 1
=2( (根号k+1-根号k)*( 根号k+1+根号k))/ (根号k+1+根号k) -1/根号k+ 1
=2/ (根号k+1+根号k)-1/根号k+1
>2/ (根号k+1+根号k+1)-1/根号k+1
=0
所以左边- 2根号k+1<0
即左边<右边
综上所述 成立
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