作业帮如何证明下面这个数列1*2+2*2+3*2+.+n*2=1/6n(n+1)(2n+1)注：1*2为1的平方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 04:23:47
如何证明下面这个数列1*2+2*2+3*2+.+n*2=1/6n(n+1)(2n+1)注：1*2为1的平方
如何证明下面这个数列
1*2+2*2+3*2+.+n*2=1/6n(n+1)(2n+1)
注：1*2为1的平方
如何证明下面这个数列1*2+2*2+3*2+.+n*2=1/6n(n+1)(2n+1)注：1*2为1的平方
本题可不用数学归纳法,而且对于更一般的,可以求得Sn=1^a+2^+……+n^a.注意到对于任意自然数k我们有：
1^3=3*1^2-3*1+1
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1.……
对等式两边分别求和（从1求和到n)；
n^3=3（1^2+2^2+……+n^2)-3(1+2……+n)+n,其中1^2+2^2+……+n^2=Sn.而1+2……+n即为等差数列求和.
整理得Sn=1/6n(n+1)(2n+1).
再看一个恒等式：k^4-(k-1)^4=4k^3-6k^2+4K-1.
分别求和,并且用到上面结论,即可以得到1^3+2^3+……+n^3
(注：^为次方）
(2)假设当n=k(k?N*)时等式成立，即
1*2+2*2+…+k*2=1/6k(k+1)(2k+1);那么1*2+…+k*2+(k+1)*2=…=1/6(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]
手机字数有限，省略了部分，你…
证明：
如果上式是正确的，那么当N+1项的时候该式也是正确的
所以有 1^2+…………+N^2+(N+1)^2=1/6*(N+1)(N+1+1)(2n+2+1)
把上式和要证明的式子两边同时相减可得
(n+1)^2=1/6*(N+1)(N+1+1)(2N+2+1)-1/6*N(N+1)(2N+1)
如果这个式子两边相等，就可以证明原式是相等的
因为...
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证明：
如果上式是正确的，那么当N+1项的时候该式也是正确的
所以有 1^2+…………+N^2+(N+1)^2=1/6*(N+1)(N+1+1)(2n+2+1)
把上式和要证明的式子两边同时相减可得
(n+1)^2=1/6*(N+1)(N+1+1)(2N+2+1)-1/6*N(N+1)(2N+1)
如果这个式子两边相等，就可以证明原式是相等的
因为右边化简得出值为(N+1)^2,等于左边，所以原式是相等的
有不懂的可以在线问我
收起
数学归纳法······