一道数学题：如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．1）求A、B、C三点的坐标以及直线BC的解析式；（2）过点A作AP∥BC交抛物线于点P．求点P的坐标以及四边形ACBP的面积；（3

一道数学题：如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．1）求A、B、C三点的坐标以及直线BC的解析式；（2）过点A作AP∥BC交抛物线于点P．求点P的坐标以及四边形ACBP的面积；（3
一道数学题：如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．
1）求A、B、C三点的坐标以及直线BC的解析式；
（2）过点A作AP∥BC交抛物线于点P．求点P的坐标以及四边形ACBP的面积；
（3）在抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使以A、M、N三点为顶点的三角形与三角形PCA相似．若存在,求出M点的坐标；若不存在,请说明理由．

一道数学题：如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．1）求A、B、C三点的坐标以及直线BC的解析式；（2）过点A作AP∥BC交抛物线于点P．求点P的坐标以及四边形ACBP的面积；（3
：易知：A（-1,0）,B（1,0）,C（0,-1）；
则OA=OB=OC=1,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ACB=90°,AC=2；
又∵AP∥BC,
∴∠PAC=90°；
易知直线BC的解析式为y=x-1,
由于直线AP∥BC,可设直线AP的解析式为y=x+h,由于直线AP过点A（-1,0）；
则直线AP的解析式为：y=x+1,
联立抛物线的解析式：{y=x+1y=x2-1,
解得{x=2y=3,{x=-1y=0；
故P（2,3）；
∴AP=(2+1)2+32=32；
Rt△PAC和Rt△AMG中,∠AGM=∠PAC=90°,且PA：AC=32：2=3：1；
若以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似,则AM：MG=1：3,或AM：MG=3：1；
设M点坐标为（m,m2-1）,（m＜-1或m＞1）
则有：MG=m2-1,AG=|m+1|；
①当AM：MG=1：3时,m2-1=3|m+1|,m2-1=±（3m+3）；
当m2-1=3m+3时,m2-3m-4=0,解得m=1（舍去）,m=4；
当m2-1=-3m-3时,m2+3m+2=0,解得m=-1（舍去）,m=-2；
∴M1（4,15）,M2（-2,3）；
②当AM：MG=3：1时,3（m2-1）=|m+1|,3m2-3=±（m+1）；
当3m2-3=m+1时,3m2-m-4=0,解得m=-1（舍去）,m=43；
当3m2-3=-m-1时,3m2+m-2=0,解得m=-1（舍去）,m=23（舍去）；
∴M3（43,79）．
故符合条件的M点坐标为：（4,15）,（-2,3）,（43,79）．

(1).A(-1,0);B(1,0);C(0,-1);BC:y=x-1
(2).P(2,3) S=4;
(3)三角形AMN为直角三角形，而三角形PCA不是直角三角形，所以不存在

（1）令y=0，得x2-1=0，
解得x=±1，
令x=0，得y=x-1，
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴
0=k+b-1=b
，得，
b=-1k=1
∴y=x-1；
（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠A...

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（1）令y=0，得x2-1=0，
解得x=±1，
令x=0，得y=x-1，
∴A（-1，0），B（1，0），C（0，-1）；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∴
0=k+b-1=b
，得，
b=-1k=1
∴y=x-1；
（2）∵OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°，
过点P作PE⊥x轴于E，则△APE为等腰直角三角形，
令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1），
∵点P在抛物线y=x2-1上，
∴a+1=a2-1
解得：a1=2，a2=-1（不合题意，舍去），
∴PE=3，
∴四边形ACBP的面积=1/2 xAB×OC+1/2xAB×PE=1+3=4；
（3）假设存在．
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC，
∵MN⊥x轴于点N，
∴∠MNA=∠PAC=90°，
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=2 ，
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=32 ，
设M点的横坐标m，则M（m，m2-1），
①点M在y轴右侧时，则m＞1，
（ⅰ） 当△AMN∽△PCA时，
∵AN=m+1，MN=m2-1，
AN/AP=MN/AC ，即m+1/32 =m2-1 /2 ，
解得：m=4/3 ，∴M(4/3,7/9 ）；
（ⅱ） 当△MAN∽△PCA时，
AN /AC =MN /AP 即
m+1 /2 =m2-1 /32 ，
解得：m=4，
∴M（4，15）；
②点M在y轴左侧时，则m＜-1，
（ⅰ） 当△AMN∽△PCA时，
∵AN=-m-1，MN=m2-1，
∴AN /AP =MN /AC ，
∴-m-1 /32 =m2-1/2 ，
解得m1=1（舍去），m2=2 /3 （舍去），
∴M不存在；
（ⅱ） 当△MAN∽△PCA时，
∵AN=-m-1，MN=m2-1，
∴MN /PA =AN /AC ，m2-1 /32 =-m-1 /2 ，
解得：m1=1（舍去），m2=-2，
∴M（-2，3），
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（-2，3），（4 /3 ,7 /9 ），（4，15）．

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