证明 当x＞0时 arctan x≦x

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 08:12:06
证明 当x＞0时 arctan x≦x

证明 当x＞0时 arctan x≦x
证明 当x＞0时 arctan x≦x

证明 当x＞0时 arctan x≦x
令f(x)=arctan x-x
f'(x)=1/(1+x^2)-1=-x^2/(1+x^2)
当x＞0时
f'(x)=x^2/(1+x^2)＜0
所以f(x)是单调递减的
f(0)=0
当x＞0时
f(x)=arctan x-x＜0
所以当x＞0时 arctan x＜x

arctan x的导数为1/(1+x^2)。

x的导数为1。


所以在x>0时，1/(1+x^2)<1，即f(x)=x-arctan(x)是个在x>0区间的增函数。


而且f(0)=0，所以当x>0时，f(x)>0，即arctan x<x。



如果你不会高等数学，可以这么证（近似的，不是特别严格，需要一些区间的修订来保证严格性），两边tan，则


只要能证 x < tan(x) 即可（在第一个区间内）。


见下图，OA=1，角KOA设为x，则AL是tan(x)，KA弧是x。

扇形OKA面积为x，而三角形OAL面积为tan(x)。


明显地，OAL包含了OKA，所以x < tan(x)。


考察y=arctanx可以知道，该函数的定义域为R，值域为（0，π/2），很显然，当x>π/2时，

x>arctanx成立，下面主要讨论x∈（0，π/2）的情况：

在考察函数y=tanx，可以知道，在（0，π/2）内是增函数，于是：

tan(x-arctanx)

=(tanx - x) / (1+xtanx)

因为x∈（0，π/2），因此：1+xtanx > 0成立

对于tanx-x的特性，可用如下图来证明：

图中圆是单位圆，则x所对应的扇形面积为：

S扇=(1/2)x

而x所在三角形面积为：

S=(1/2)tanx

易知：S > S扇

因此：tanx>x

所以：

tan(x-arctanx)

=(tanx - x) / (1+xtanx)

>0

即：tan(x-arctanx)>0

又因为在（0，π/2）y=tanx是增函数，所以：

tan(x-arctanx)>0=tan0+

因此：

x>arctanx成立

 

通过上述分析可知：

若要arctanx≤x成立，只能是x=0

证明 当x＞0时 arctan x≦x 当(x→0)时,证明 arctan x~x 求过程 证明：当x >0时,arctan x+1/x>π/2 试证：当x≥0时,x≥arctan x. 高等数学函数极限当x→0时,证明 arctan x,sec x-1~x²/2 证明当x≥1时arctan 根号(x^2-1)+arcsin1/x=π/2 当x趋于0时,arctan(sinx/x)极限是多少, 问一道大一数学题证明,当x→0时,有arctan x衷心感谢每位回答者! x趋近于0时x(arctan((x+1)/x)+arctan(x/(x+1)))的极限 arctan(x)的极限?当x趋于无穷大时arctan(x)的极限是多少?我知道是正负pi/2.我需要严格证明! 证明不等式 应该使用中值定理x/(1+x)0)|arctan a-arctan b| 利用函数的单调性证明：当x>0时,有x>arctan(x)我能看的懂的给分. 三角函数与微积分相关对于x > 0,证明：x/(1+x^2) < arctan(x) < x 证明：当x≥1时arctan 根号(x^2-1)+arcsin1/x=π/2用罗尔定理或者拉格朗日定理做 就是先设f(x)=arctan 根号(x^2-1)+arcsin1/x的 证明｜arctan(x+1)-arctanx｜≤1 (arctan(1+x)-arctan(1-x))/x的极限,当x趋向于0,利用等价无穷小 当x→0时,arctan(1/x^2)的极限是多少?（带上过程） 微积分,利用中值定理证明不等式的练习题1、当b>a时,证明arctan b-arctan a>b-a2、当x≥1时,证明 e的x次方≥ex.