作业帮一道直线的方程的题!直线l过p（-2.1）且斜率为k（k>1）,将直线l绕p点按逆时针方向旋转45度得直线m,若直线l和直线m分别与y轴交与q,r点,则,当k为何值是,三角形pqr的面积最小?并求出面积最小值!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 18:47:06
一道直线的方程的题!直线l过p（-2.1）且斜率为k（k>1）,将直线l绕p点按逆时针方向旋转45度得直线m,若直线l和直线m分别与y轴交与q,r点,则,当k为何值是,三角形pqr的面积最小?并求出面积最小值!
一道直线的方程的题!
直线l过p（-2.1）且斜率为k（k>1）,将直线l绕p点按逆时针方向旋转45度得直线m,若直线l和直线m分别与y轴交与q,r点,则,当k为何值是,三角形pqr的面积最小?并求出面积最小值!
一道直线的方程的题!直线l过p（-2.1）且斜率为k（k>1）,将直线l绕p点按逆时针方向旋转45度得直线m,若直线l和直线m分别与y轴交与q,r点,则,当k为何值是,三角形pqr的面积最小?并求出面积最小值!
如图,过P作PC⊥QR于点C.则|PC|=2
由点P(-2,1)∈l 且 P∈m.
可设l：y=k(x+2)+1. m: y=a(x+2)+1.
由题可知,直线l到直线m的到角为45°.
∴有tan45°=1=(a-k)/(1+ak)
∵k＞1.
∴ak≠-1.
∴有ak+1=a-k 即,a(k-1)=-1-k.
又∵k＞1.
∴解得,a=-(k+1)/(k-1)
∴l：y=kx+(2k+1)
m：y=-(k+1)/(k-1)x+[-2•(k+1)/(k-1)+1]
由题可知,-2•(k+1)/(k-1)+1＜0.
∴S△PQR=1/2×2•|QR|=|QR|=2k+1-[-2•(k+1)/(k-1)+1].
则S△PQR=2k+2•(k+1)/(k-1)=2[k+(k+1)/(k-1)].
设 k-1=m.
∵k＞1
∴m＞0.
则k+(k+1)/(k-1)=m+1+(m+2)/m=m+2/m+2.
由均值不等式得,m+2/m+2≥2+√2. 当且仅当m=√2时可取等.
∴S△PQR=2(m+2/m+2)≥4+2√2
∴S△PQRmin=4+2√2.
当m=√2时,
则k-1=√2
∴k=√2+1
即：当k的值为√2+1时,△PQR的面积有最小值,最小值为(4+2√2).