定积分求曲线长度的问题为什么定积分求曲线长度的时候在极坐标的情形下只能用而不能用直接对ρdθ取积分.（这里的ρ是θ的函数）我知道第一种是将曲线近似成了直线段,第二种是近似成

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 05:19:32

定积分求曲线长度的问题为什么定积分求曲线长度的时候在极坐标的情形下只能用而不能用直接对ρdθ取积分.（这里的ρ是θ的函数）我知道第一种是将曲线近似成了直线段,第二种是近似成
定积分求曲线长度的问题
为什么定积分求曲线长度的时候在极坐标的情形下只能用
而不能用直接对ρdθ取积分.
（这里的ρ是θ的函数）
我知道第一种是将曲线近似成了直线段,第二种是近似成了圆弧,可是为什么近似为圆弧不成立呢?二者计算出来的值差了很多.
还有就是既然近似圆弧求曲线长不成立,但为什么近似为圆弧求曲线与坐标轴所成面积就成立了呢?

定积分求曲线长度的问题为什么定积分求曲线长度的时候在极坐标的情形下只能用而不能用直接对ρdθ取积分.（这里的ρ是θ的函数）我知道第一种是将曲线近似成了直线段,第二种是近似成
ds=(ρ^2+ρ'^2)^(1/2)dθ
是由ds=(1+y'^2)^(1/2)dx变换而来
后者的折线替代是是经过证明的,可由达布上下和相等得到,
证明方法一般分析书上有
而ρdθ代换后极限和与曲线长度并不相等
考虑ρsinθ=d [2^(1/2)d

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