作业帮一道数学正/余弦定理的题在三角形ABC中,若b^2*sin^2C+c^2*sin^2B=2bcosBcosC,判断三角形形状.过程尽量表述清楚.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 03:40:26
一道数学正/余弦定理的题在三角形ABC中,若b^2*sin^2C+c^2*sin^2B=2bcosBcosC,判断三角形形状.过程尽量表述清楚.
一道数学正/余弦定理的题
在三角形ABC中,若b^2*sin^2C+c^2*sin^2B=2bcosBcosC,判断三角形形状.
过程尽量表述清楚.
一道数学正/余弦定理的题在三角形ABC中,若b^2*sin^2C+c^2*sin^2B=2bcosBcosC,判断三角形形状.过程尽量表述清楚.
代入正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
=>(2RsinB)^2(sinC)^2+(2RsinC)^2(sinB)^2=2*(2RsinB*2RsinC)cosBcosC
两边除以4R^2sinBsinC
=>2sinBsinC=2cosBcosC
=>cos(B+C)=0
=>B+C=π/2
三角形是直角三角形.
作BC边上的高，则b*cosC+c*cosB=a=>a^2=b^2*cos^2C+c^2*cos^2B+2bc*cosBcosC=>
a^2=b^2+c^2-(b^2*sin^2C+c^2*sin^2B)+2bc*cosBcosC=>
a^2=b^2+c^2-2b*cosBcosC+2bc*cosBcosC
又a^2=b^2+c^2-2bc*cosA=b^2+c^2+2bc...
全部展开
作BC边上的高，则b*cosC+c*cosB=a=>a^2=b^2*cos^2C+c^2*cos^2B+2bc*cosBcosC=>
a^2=b^2+c^2-(b^2*sin^2C+c^2*sin^2B)+2bc*cosBcosC=>
a^2=b^2+c^2-2b*cosBcosC+2bc*cosBcosC
又a^2=b^2+c^2-2bc*cosA=b^2+c^2+2bc*cos（B+C）【余弦定理】=>
-2b*cosBcosC+2bc*cosBcosC=2bc*cos（B+C)=>cosBcosC=c*sinBsinC
又b/sinB=c/sinC则b*sinC=c*sinB【正弦定理】，则b^2*sin^2C+c^2*sin^2B=2bcosBcosC=>
2c^2*sin^2B=2bcosBcosC则c^2*sin^2B=bc*sinBsinC恒成立=>△为任意△
注意题目条件！b^2*sin^2C+c^2*sin^2B=2bcosBcosC！而不是b^2*sin^2C+c^2*sin^2B=2bc*cosBcosC
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