作业帮第三题,微分方程问题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 22:24:45
第三题,微分方程问题
第三题,微分方程问题
第三题,微分方程问题
解法一：（换元法）
∵令t=lny-x,则dy/dx=y(dt/dx+1)
代入原方程,得
y(dt/dx+1)=y/(2t)
==>dt/dx+1=1/(2t) (∵y=0不是原方程的解,∴等式两端同除y)
==>dt/dx=(1-2t)/(2t)
==>2tdt/(1-2t)=dx
==>[1/(1-2t)-1]dt=dx
==>2dx+2[1-1/(1-2t)]dt=0 (等式两端同乘2,再移项)
==>2x+2t+ln│1-2t│=ln│C│ (C是常数)
==>e^(2(x+t))*(1-2t)=C
==>y^2(1-2lny+2x)=C
==>2xy^2-2y^2lny+y^2=C
∴原方程的通解是2xy^2-2y^2lny+y^2=C.
解法二：（全微分法,此法最简便）
∵dy/dx=y/(2(lny-x))
==>2(lny-x)dy-ydx=0
==>2ylnydy-2xydy-y^2dx=0 (等式两端同乘y)
==>xd(y^2)+y^2dx=2ylnydy
==>d(xy^2)=lnyd(y^2)
==>xy^2=y^2lny-y^2/2+C/2 (等式右边应用分部积分法,C是常数)
==>2xy^2-2y^2lny+y^2=C
∴原方程的通解是2xy^2-2y^2lny+y^2=C.
如图所示
令lny-x=u
即y=e^(x+u)
则y'=e^(x+u)(1+u')
代入原式：e^(x+u)(1+u')=e^(x+u)/(2u)
1+u'=1/(2u)
u'=(1-2u)/(2u)
du*2u/(1-2u)=dx
du[-1+1/(1-2u)]=dx
积分：-u-ln|1-2u|=x+C
即: -lny+x-ln|1-2lny+2x|=x+C