高二数学题函数f﹙x﹚=㏑x-ax ﹙a∈R﹚若f﹙x﹚无零点,求a的取值范围.答案为a>1/e.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 08:00:18
高二数学题函数f﹙x﹚=㏑x-ax ﹙a∈R﹚若f﹙x﹚无零点,求a的取值范围.答案为a>1/e.

高二数学题函数f﹙x﹚=㏑x-ax ﹙a∈R﹚若f﹙x﹚无零点,求a的取值范围.答案为a>1/e.
高二数学题函数f﹙x﹚=㏑x-ax ﹙a∈R﹚
若f﹙x﹚无零点,求a的取值范围.答案为a>1/e.

高二数学题函数f﹙x﹚=㏑x-ax ﹙a∈R﹚若f﹙x﹚无零点,求a的取值范围.答案为a>1/e.
f﹙x﹚=㏑x-ax ﹙x>0,a∈R﹚
y‘=(1/x)-a,a∈R,x>0
①当a≤0时,f(x)在(0,+∞)单调,必有零点,舍去
②a>0时,令y’=0,x=1/a
所以y在(0,1/a)增,(1/a,+∞)减,
所以函数f(x)存在最大值,所以最大值<0,则函数无零点,f(1/a)<0,解得a>1/e

f(x)求导 令导数等于0得x=1/a
则其为转折点 f(1/a)=ln(1/a)-1,令其等于0得a=1/e
当a>1/e则无零点

易知f(x)定义域为x>0,且函数在定义域内连续,当x从右边趋向于0时,f(x)<0
所以,在f(x)在定义域内连续的情况下要使f(x)无零点,必须使f(x)在整个定义域内都小于0,否则f(x)必然会穿过x轴,即出现等于0的情况。
所以令lnx-ax<0得lnxax与lnx导数与函数值都...

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易知f(x)定义域为x>0,且函数在定义域内连续,当x从右边趋向于0时,f(x)<0
所以,在f(x)在定义域内连续的情况下要使f(x)无零点,必须使f(x)在整个定义域内都小于0,否则f(x)必然会穿过x轴,即出现等于0的情况。
所以令lnx-ax<0得lnxax与lnx导数与函数值都相等,即a=1/x,ax=lnx,可算出x=e,a=1/e.因为f(x)只能小于而不能等于0,所以直线ax的斜率a必须大于1/e.

收起

对A进行参变分离,A=LNX/X,看成Y=A与Y=lnx/x两个函数,对Y=lnx/xx求导,搞到极大值即最大值在X=e上取到,且为1/e,所以Y=lnx/x的值域为【负无穷,1/e】,也即Y=A不在值域即可,所以A>1/e.

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