作业帮求解答关于微分方程的题目~
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 22:50:00
求解答关于微分方程的题目~
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∵齐次方程y"-2y'+y=0的特征方程是r^2-2r+1=0,则r=1 (二重实根)
∴此齐次方程的通解是y=(C1x+C2)e^x (C1,C2是常数)
于是,设原方程的解为y=(C1(x)x+C2(x))e^x (C1(x),C2(x)是关于x的函数)
令C1'(x)x+C2'(x)=0.(1)
∵y'=(C1(x)x+C2(x))e^x+(C1'(x)x+C2'(x)+C1(x))e^x=(C1(x)x+C2(x)+C1(x))e^x
y"=(C1(x)x+C2(x)+C1(x))e^x+(C1'(x)x+C2'(x)+C1'(x)+C1(x))e^x
=(C1(x)x+C2(x)+2C1(x)+C1'(x))e^x
代入原方程,化简得 C1'(x)e^x=e^x/x
==>C1'(x)=1/x
∴C1(x)=∫dx/x=ln│x│+C1* (C1*是常数)
∵由(1)式,得 C2'(x)=-C1'(x)x=-1
∴C2(x)=-∫dx=C2-x (C2是常数)
故原方程的通解是y=((ln│x│+C1*)x+C2-x)e^x
=((ln│x│+(C1*-1))x+C2)e^x
=((ln│x│+C1)x+C2)e^x (令C1=C1*-1).