作业帮一道反证法题已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,用反证法证明,a,b,c>0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 08:11:13
一道反证法题已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,用反证法证明,a,b,c>0
一道反证法题
已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,用反证法证明,a,b,c>0
一道反证法题已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,用反证法证明,a,b,c>0
不妨设a<0,由abc>0得bc<0,所以b,c中有一个小于零.
不妨设b<0,则ab>0,bc<0,ca<0所以ab>ca+cb=c(a+b)
又a+b<0所以由ab>c(a+b)与ab>0得c<0
综上a,b,c<0但abc>0所以a,b,c不可能小于0更不能等于0(等于0则abc=0)
即a,b,c>0
对结论进行否定:不妨设a<=0,b,c>0
1.当a=0时,与abc>0矛盾
2.当a<0时,b,c>0,所以abc<0,也矛盾
首先 不能三个不同时为负数或有一个为负数否则abc<0
再者，假设只有一个是负数则不妨设为c
则ab+c(a+b)>0 a+b>-c 得ab-c*c>0 ab>c*c
代入2式有 ab+bc+ca>c*c+bc+ca=c(a+b+c)>0
a+b+c>0,则c>0,矛盾
故不等式成立
设f(x)=(x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc,
∵a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,
∴当x≥0时,f(x)>0恒成立;
则f(x)=0的三个根均为负根,
∴-a<0,-b<0,-c<0,即a>0,b>0,c>0.
不妨设a<0,由abc>0得bc<0，所以b,c中有一个小于零.
不妨设b<0,则ab>0,bc<0,ca<0所以ab>ca+cb=c(a+b)
又a+b<0所以由ab>c(a+b)与ab>0得c<0
综上a,b,c<0但abc>0444所以a,b,c不可能小于0更不能等于0即a,b,c>0