求积分 ∫根号下（x^2+1）dx

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 02:31:51
求积分 ∫根号下（x^2+1）dx

求积分 ∫根号下（x^2+1）dx
求积分 ∫根号下（x^2+1）dx

求积分 ∫根号下（x^2+1）dx
使用分部积分法来做
∫√(x²+1) dx
= x* √(x²+1) - ∫x *d√(x²+1)
= x* √(x²+1) - ∫ x² /√(x²+1) dx
= x* √(x²+1) - ∫ √(x²+1) dx + ∫ 1/√(x²+1) dx
所以得到
∫√(x²+1) dx
= x/2 * √(x²+1) +1/2 * ∫ 1/√(x²+1) dx
= x/2 * √(x²+1) +1/2 * ln|x+√(x²+1)| +C,C为常数

积分中的上限与下限呢

楼上的计算，算到倒数第二步有积分项 ∫ 1/√(x²+1) dx，然后直接给出答案。我强烈建议直接给出∫√(x²+1) dx的答案，不是爽快得多？这些都是拓展的记忆公式。当然要用最基本的知识求解和证明。
令x=(e^t-e^-t)/2,
则√(x²+1)=(e^t+e^-t)/2,
上两式相加取对数得t=ln(x+√(x²+1))

全部展开

楼上的计算，算到倒数第二步有积分项 ∫ 1/√(x²+1) dx，然后直接给出答案。我强烈建议直接给出∫√(x²+1) dx的答案，不是爽快得多？这些都是拓展的记忆公式。当然要用最基本的知识求解和证明。
令x=(e^t-e^-t)/2,
则√(x²+1)=(e^t+e^-t)/2,
上两式相加取对数得t=ln(x+√(x²+1))
后面的很好计算了。
原式=∫(e^2t+2+e^-2t)/4dt
=(e^t+e^-t)(e^t-e^-t)/8+t/2+C
=0.5x√(x²+1)+0.5ln(x+√(x²+1))+C,
C为常数
只用证明一次即可，希望楼主能记住，以后方便应用。

收起

求积分 ∫根号下（x^2+1）dx 求积分：积分号（x^2+1）/(x *(根号下x^4+1)) dx 求 积分 x^3 * 根号下 1-x^2 dx 求积分∫0→1 [根号下（4-x^2）]dx 求积分 根号下1+(1/x)^2 dx 求定积分∫上限根号3 下限0 （x乘根号下1+x^2） dx 积分dx/x*根号下（x^2-1） 根号下(（1-X^2）3)dx积分 求积分∫上限1下限-1ln(x+根号下1+x^2)dx 用换元积分法求不定积分∫x^3乘以根号下1+x^2dx 求定积分∫x/（1+根号x）dx 求定积分∫（3~0）根号下（9-x^2） dx 求定积分∫上限2,下限1 dx / (根号下4-x^2), 求积分∫1/根号下(2-3x^2)dx 求积分(cos根号下x)dx 求定积分：∫dx/x(根号x^2-1),上限 - （根号2）,下限-2 积分dx/根号下(1-x^2)求0~1/2偏积分 求积分∫dx/（根号1+e^x）