作业帮求积分：积分号（x^2+1）/(x *(根号下x^4+1)) dx
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 17:08:02
求积分：积分号（x^2+1）/(x *(根号下x^4+1)) dx
求积分：积分号（x^2+1）/(x *(根号下x^4+1)) dx
求积分：积分号（x^2+1）/(x *(根号下x^4+1)) dx
过程很简单,用第二类换元积分法便可解决请看图：
原式＝∫［x/√（x^4＋1）］dx＋∫｛1/［x√（x^4＋1）］｝dx
＝（1/2）∫［1/√（x^4＋1）］d（x^2）＋∫｛x/［x^2√（x^4＋1）］｝dx
＝（1/2）∫［1/√（x^4＋1）］d（x^2）＋（1/2）∫｛1/［x^2√（x^4＋1）］｝d（x^2）
令x^2＝u，则：
原式＝（1/2）∫［1/√（u^2＋1）］du＋（1/2）...
全部展开
原式＝∫［x/√（x^4＋1）］dx＋∫｛1/［x√（x^4＋1）］｝dx
＝（1/2）∫［1/√（x^4＋1）］d（x^2）＋∫｛x/［x^2√（x^4＋1）］｝dx
＝（1/2）∫［1/√（x^4＋1）］d（x^2）＋（1/2）∫｛1/［x^2√（x^4＋1）］｝d（x^2）
令x^2＝u，则：
原式＝（1/2）∫［1/√（u^2＋1）］du＋（1/2）∫｛1/［u√（u^2＋1）］｝du
＝（1/2）∫［1/√（u^2＋1）］du＋（1/2）∫｛u/［u^2√（u^2＋1）］｝du
＝（1/2）∫［1/√（u^2＋1）］du＋（1/4）∫｛1/［u^2√（u^2＋1）］｝d（u^2）
令u＝tanθ，得：sinθ＝u/√（u^2＋1），√（u^2＋1）＝1/cosθ，du＝［1/（cosθ）^2］dθ；
再令√（u^2＋1）＝t，得：u^2＝t^2－1，∴d（u^2）＝2tdt。
于是：
原式＝（1/2）∫｛［1/（cosθ）^2］/（1/cosθ）｝dθ＋（1/4）∫［1/（t^2－1）t］（2t）dt
＝（1/2）∫（1/cosθ）dθ＋（1/4）∫［2/（t^2－1）］dt
＝（1/2）∫［cosθ/（cosθ）^2］dθ＋（1/4）∫｛（t＋1－t＋1）/［（t＋1）（t－1）］｝dt
＝（1/2）∫｛1/［1－（sinθ）^2］｝d（sinθ）＋（1/4）∫［1/（t－1）］dt
－（1/4）∫［1/（t＋1）］dt
＝（1/4）∫｛（1＋sinθ＋1－sinθ）/［（1＋sinθ）（1－sinθ）］｝d（sinθ）
＋（1/4）ln｜t－1｜－（1/4）ln｜t＋1｜
＝（1/4）∫［1/（1－sinθ）］d（sinθ）＋（1/4）∫［1/（1＋sinθ）］d（sinθ）
＋（1/4）ln｜t－1｜－（1/4）ln｜t＋1｜
＝－（1/4）ln｜1－sinθ｜＋（1/4）ln｜1＋sinθ｜＋（1/4）ln｜t－1｜－（1/4）ln｜t＋1｜
＋C
＝（1/4）ln｜1＋u/√（u^2＋1）｜－（1/4）ln｜1－u/√（u^2＋1）｜
＋（1/4）ln｜√（u^2＋1）－1｜－（1/4）ln｜√（u^2＋1）＋1｜＋C
＝（1/4）ln｜1＋x^2/√（x^4＋1）｜－（1/4）ln｜1－x^2/√（x^4＋1）｜
＋（1/4）ln｜√（x^4＋1）－1｜－（1/4）ln｜√（x^4＋1）＋1｜＋C
＝（1/4）ln｜√（x^4＋1）＋x^2｜－（1/4）ln｜√（x^4＋1）－x^2｜
＋（1/4）ln｜√（x^4＋1）－1｜－（1/4）ln｜√（x^4＋1）＋1｜＋C
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