作业帮已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和,试问Sn,S2n-Sn,S3n-S2n.成等比数列吗?证明等....
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 17:32:46
已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和,试问Sn,S2n-Sn,S3n-S2n.成等比数列吗?证明等....
已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和,试问Sn,S2n-Sn,S3n-S2n.成等比数列吗?证明
等....
已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和,试问Sn,S2n-Sn,S3n-S2n.成等比数列吗?证明等....
Sn = a1 * (q^n -1)/(q-1)
S2n = a1 * (q^2n -1)/(q-1)
S = a1 * [q^(k-1)n -1]/(q-1)
Skn = a1 * [q^(kn) -1]/(q-1)
S - S
=[a1/(q-1)]*[q^(kn) - q^(k-1)n]
= [a1/(q-1)] * q^[(k-1)n] * (q^n -1)
= [a1 * (q^n -1)/(q-1)] * q^[(k-1)n]
= Sn * (q^n)^(k-1)
从上面表达式已经可以直接看出,它恰好为等比数列的通项公式
首项为 Sn,公比为 q^n
因此 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n.成等比数列
根据等比数列前N相和公式
sn=a1*(1-q^n)/(1-q)
s2n-sn=a1*(q^n-q^2n)/(1-q) （经过化简得，你可以摆一下，屏幕上打太多了）
s3n-s2n=a1*(q^2n-q^3n)/(1-q)
只要证明(s2n-sn)^2=(s2n-s3n)*sn即可
及证（q^n-q^2n）^2=(1-q^n）*(q^3n-q^2n)
全部展开
根据等比数列前N相和公式
sn=a1*(1-q^n)/(1-q)
s2n-sn=a1*(q^n-q^2n)/(1-q) （经过化简得，你可以摆一下，屏幕上打太多了）
s3n-s2n=a1*(q^2n-q^3n)/(1-q)
只要证明(s2n-sn)^2=(s2n-s3n)*sn即可
及证（q^n-q^2n）^2=(1-q^n）*(q^3n-q^2n)
及证q^2n-2*q^3n+q^4n=q^2n-2*q^3n+q^4n
显然成立
（后边的方法为证明方法的一种，分析法）
收起