已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径则角A的度数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 17:40:26
已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径则角A的度数

已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径则角A的度数
已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径则角A的度数

已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径则角A的度数

 
°∵∴⊥∥∠≌∽√π△
图中H点是垂心,AD⊥BC,CE⊥AB
图中F点是外心,也是圆心,G是AC的中点,FA,FC均为半径且相等
其他不需要的特殊线段及点为了美观,不再标注,已经够乱了...
我们来证明:
因为F为外接圆心,G是AC的中点,所以不难证明△FAG≌△FCG
∴AG=GC,∠AFG=∠CFG
在直角△ABD和直角△AHE中,
有一对公共角,∠BAD=∠HAE
∴△ABD∽△AHE
∴∠AHE=∠ABD
∵∠ABC和∠AFC分别是同弧所对的圆周角和圆心角,
∴∠ABC=1/2∠AFC
而上面已经证明∠AFG=∠CFG
∴∠AHE=∠AFG
已知A到垂心H的距离等于它的外接圆半径,即AH=AF
∴△AHE≌△AFG
AE=AG=1/2AC
∴∠BAC=60°
 
可以看出,当△ABC为等边三角形时,多心重合,这是最特殊的情况,
而上述证明,总有特殊直角三角形AEC存在

已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径则角A的度数
依题意，这个垂心就是该三角形的外心，既然垂心与外心合一，那么内心必然也在此处无疑；
即该三角形三心合一，故必是等边三角形，即A=60度。

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