一道中学的几何题,有三角形ABC（逆时针布点）,D在AB上,连接CD.已知：CD平分角ACB,BC=AC+AD求证：角A=2角B

一道中学的几何题,有三角形ABC（逆时针布点）,D在AB上,连接CD.已知：CD平分角ACB,BC=AC+AD求证：角A=2角B
一道中学的几何题,
有三角形ABC（逆时针布点）,D在AB上,连接CD.已知：CD平分角ACB,BC=AC+AD
求证：角A=2角B

一道中学的几何题,有三角形ABC（逆时针布点）,D在AB上,连接CD.已知：CD平分角ACB,BC=AC+AD求证：角A=2角B
证明：
延长CA至E点,使得AE = AD
因为：BC = AC + AD
所以：BC = EC
因为：CD评分∠ACB
所以：∠ACD = ∠DCB
又因为CD为公共边
所以：△ECD 全等于 △BCD
所以：∠B = ∠E
因为：AD = AE
所以：∠E = ∠EDA
∠DAC = ∠E + ∠EDA = 2 * ∠E = 2 * ∠B
命题得证

延长CA至点E是AE=AD，连接DE和BE
∵BC=AC+AD=AC+AE=CE
∴CD平分角ACB
∴△CED≌△CBD
∴∠CED=∠CBA
∵AE=AD
∴∠CED=∠ADE=∠CBA
∴∠CAB=∠CED+∠ADE=2∠CBA

你自己画下图，设E为BC上的一点，使得CE=AC，
连接DE。可以证的三角形ACD全等于角ECD。
所以角A=角DEC，AD=DE。
又因为AC+AD=BC，且CE=AC，
所以BC-AC=BE=DE，
所以角B=角BDE，
所以角DEC=角B+角BDE=2角B，
所以角A=2角B。

在CA的延长线上取E，使AE=AD，连接BE，延长CD交BE于F。

因为BC=AC+AD，所以，BC=AC+AE=CE,所以，三角形CBE是等腰三角形。 又因为，CD是角ACB的平分线，（等腰三角形三线合一），易知，三角形BDF全等于三角形EDF，所以，角DBF等于角DEF，又因为角CBF等于角CEF，所以角CBD（即题中的角B）等于角DEA。

因为做的辅助...

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在CA的延长线上取E，使AE=AD，连接BE，延长CD交BE于F。

因为BC=AC+AD，所以，BC=AC+AE=CE,所以，三角形CBE是等腰三角形。 又因为，CD是角ACB的平分线，（等腰三角形三线合一），易知，三角形BDF全等于三角形EDF，所以，角DBF等于角DEF，又因为角CBF等于角CEF，所以角CBD（即题中的角B）等于角DEA。

因为做的辅助线AE=AD，所以三角形AED是等腰三角形，所以角ADE=角DEA。因为角CAD是角DAE的补角，即角CAD=角ADE+角DEA=2角DEA =角CBD，得证。


不知道有没有更简便的方法了，你参考吧

收起

证明：过点A做∠A的角平分线交BC与A'，则∠CAA'=∠BAA'；
延长CA至D'点,使得AD=AD'，连接DD'，则∠ADD'=∠AD'D；
∵∠CAD=∠ADD'+∠AD'D(三角形外交等于不相邻两内角和)；
又∵∠CAD=∠CAA'+∠BAA'；
∴∠ADD'+∠AD'D=∠C...

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证明：过点A做∠A的角平分线交BC与A'，则∠CAA'=∠BAA'；
延长CA至D'点,使得AD=AD'，连接DD'，则∠ADD'=∠AD'D；
∵∠CAD=∠ADD'+∠AD'D(三角形外交等于不相邻两内角和)；
又∵∠CAD=∠CAA'+∠BAA'；
∴∠ADD'+∠AD'D=∠CAA'+∠BAA'且∠ADD'=∠AD'D=∠CAA'=∠BAA'；
∵AC+AD=BC且AD=AD'；
∴AC+AD=AC+AD'=CD'=BC；
∵CD平分∠ACB；
∴∠DCD'=∠DCB；
在△CDD'和△CDB中，∵CD=CD；CD'=BC；∠DCD'=∠DCB；
∴△CDD'≌△CDB；∠AD'D=∠ABA'；
∴∠ADD'=∠AD'D=∠CAA'=∠BAA'=∠ABA'；
∴∠CAB=∠CAA'+∠BAA'=2∠ABC；
证毕。

收起

延长CA到E，使AE=AD，那么EC=AE+AC=AD+AC=BC，

已知∠1=∠2，则⊿ECD≌⊿BCD，得∠E=∠B，

在等腰三角形AED中，∠E=∠ADE；∠CAB=∠E+∠ADE=2∠E.，

就是∠CAB=2∠B。

A

B

C

D

E

F

延长CA至E，使CE=CB；连接EB，延长CD与EB相交于F。

∵AC+AE=CB，CB=AC+AD

∴AE=AD

∴∠AED=∠ADE

又∵CD平分∠C，

∴∠DEB=∠DBE

∵CE=CB

∴∠CEB=∠CBE

∵∠CBE=∠CBD+∠DBE

  ∠CEB=∠CED+∠DEB

∴∠CBD+∠DBE=∠CED+∠DEB

∵∠DEB=∠DBE

∴∠CBD =∠CED

∵∠CAD=∠ADE+∠AED=2∠AED

  ∠CBD =∠CED

∴∠A=2∠B