已知x>1证明不等式x>In(1+x)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 09:07:47
已知x>1证明不等式x>In(1+x)

已知x>1证明不等式x>In(1+x)
已知x>1证明不等式x>In(1+x)

已知x>1证明不等式x>In(1+x)
证明:设f(x)=x-ln(1+x) f'(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
因为f(1)=1-ln2=lne-ln2>0 (y=lnx在x>0为单调增函数,e>2)当x>1时,f'(x)>0,f(x)的导函数为正,所以f(x) 在x>1 区间上为单调增函数,而f(1)>0 所以当x>1时,f(x)>0
即 x-ln(1+x)>0 x>ln(1+x) 证毕.

这种不等式最方便的证明方法就是求导了,用高等方法解决初等问题势如破竹。