作业帮对任意随机事件A,B,C,求证：P(AB)+P(AC)-P(BC)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 12:01:28
对任意随机事件A,B,C,求证：P(AB)+P(AC)-P(BC)
对任意随机事件A,B,C,求证：P(AB)+P(AC)-P(BC)
对任意随机事件A,B,C,求证：P(AB)+P(AC)-P(BC)
楼上这需要三事件相互独立才行,如果不独立,怎么办.
P(AB)+P(AC)
根据逆推法，原式<=>
P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A)-P(B)*P(C)<=0 <=>
P(A)*[P(B)+P(C)-1]-P(B)*P(C)<=0;
∵0<=P(A)<=1，且0<=P(B)*P(C)<=1,
∴只需证P(A)*[P(B)+P(C)-1-P(B)*P(C)]<=0
即P(B)+P(C)-1-P(B)*P(C)<=0
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根据逆推法，原式<=>
P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A)-P(B)*P(C)<=0 <=>
P(A)*[P(B)+P(C)-1]-P(B)*P(C)<=0;
∵0<=P(A)<=1，且0<=P(B)*P(C)<=1,
∴只需证P(A)*[P(B)+P(C)-1-P(B)*P(C)]<=0
即P(B)+P(C)-1-P(B)*P(C)<=0
即[1-P(B)]>=P(C)*[1-P(B)];
∵1>=1-P(B)>=0且0<=P(C)<=1，∴上式成立，逆向可推出原式成立。
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我觉得楼主的题目没有错，①移项P（AB）+P(AC)<=P(A)+P(BC),
②两边同减P（ABC）得P(AB+AC)<=P(A+BC)
③化简左边得P【A（B+C）】<=p(A+BC)
因为A（B+C）包含于A，而A包含于（A+BC)
所以A（B+C）包含于（A+BC）
所以P【A（B+C）】<=p(A+BC)
PS：至于为什么满意回答中假设相互...
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我觉得楼主的题目没有错，①移项P（AB）+P(AC)<=P(A)+P(BC),
②两边同减P（ABC）得P(AB+AC)<=P(A+BC)
③化简左边得P【A（B+C）】<=p(A+BC)
因为A（B+C）包含于A，而A包含于（A+BC)
所以A（B+C）包含于（A+BC）
所以P【A（B+C）】<=p(A+BC)
PS：至于为什么满意回答中假设相互独立也行，那是因为题目中的任意随机事件包含
了相互独立这一种情况，所以也能推出答案。
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